munurenur - Doğrusal Denklem

Doğrusal Denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir.Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda bir Doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir $x$ ve $y$ değişkeni içeren aşağıdaki formdur:

$y = mx + b.,$

Burada, $m$ sabiti doğrunun eğimini belirler; $b$ sabiti ise denklemin x ve y eksenlerini keseceği noktaları belirler (yani $m$ sabiti değişmesi fonksiyonun artış miktarını etkilerken $b$ sabitinin değişmesi doğrunun düzlemde ötelenmesine neden olur). Aynı terimde iki değişken barındıran ya da değişken terimin derecesi 1'den farklı olan denklemler: $x 2$ ya da $y 1 / 3$ (terimler birinci dereceden ya da bir sabit olmadığından) ve $x y$ (tek bir terim çift değişken içerdiğinden) doğrusal değildir.

Örnekler

İki değişkenli bazı doğrusal denklem örnekleri:

$x + 2y = 10,,$

$3a + 472b = 10b + 37,,$

$2x + y -5 = -7x + 4y +3.,$

-y+5=-5x+4x+3

İki Boyutlu Doğrusal Denklemler

Aşağıdak formlar basit matematik bilgisiyle yazılabilecek 2 boyutlu doğrusal denklem örnekleridir. Burada büyük harfler sabitlerin $x$ ve $y$ 'ler değişkenlerin yerine kullanılmıştır.

Genel form

$Ax + By + C = 0,,$

Hem A hem B'nin sıfıra eşit olmadığı durumalrda denklem genelde A ≥ 0 olacak şekilde yazılır. Denklemin grafiği bir doğru belirtir. A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri -C/A olan bir a noktasında keser, B sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri -C/B olan bir b noktasında keser. A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir.

Standart form

$Ax + By = C,,$

A ve B sıfır olmadıkça A, B, ve C en büyük ortak çarpanı 1 olan tamsayılardan seçilir. Genelde A ≥ 0'dir. A sıfır olmadıkça denklem x eksenini değeri C/A olan bir a noktasında keser, B sıfır olmadıkça denklem y eksenini değeri C/B olan bir b noktasında keser. A/B ise denklemin eğimini (m'yi) verir.

Eğim-kesim noktası formu

Kesim noktası: Doğrunun herhangi bir eksenle kesiştiği noktadır. Örneğin sağdaki grafikte (a,0) x ekseni kesim noktası; (0,b) y ekseni kesim noktasıdır.

$y = mx + b,,$

m eğimi ve b de y-ekseni kesim noktasını gösterir.

x = 0

y = b

olduğu direk gözlenir.

Nokta-eğim formu

$y - y_1 = m cdot ( x - x_1 ),$

m eğim ve (x₁,y₁) doğru üzerinde herhangi bir noktadır.

Bazen nokta-eğim formü şu şekilde de karşımıza çıkabilir:

$frac{y-y_1}{x-x_1}=m$

Ancak, bu şekilde

x = x 1

durumunda eşitlik sağlanmaz.

Kesim noktası formu

$frac{x}{E} + frac{y}{F} = 1.$

E ve F sıfırdan farklı olmalıdır. Doğru ve x ekseninin kesiştiği nokta (x ekseninin kesim noktası) E ve y ekseninin kesim noktası F'dir. A = 1/E, B = 1/F ve C = 1 alınarak kolaylıkla standart forma dönüştürülebilir.

İki nokta formu

$y - k = frac{q - k}{p - h} (x - h),$

p ≠ h. Grafik (h,k)'ya karşılık (p,q) noktasını sağlar ve eğim m = (q−k) / (p−h)'dir.

Parametrik form

$x = T t + U,$

$y = V t + W.,$ olsun

şeklinde iki denklemdir. eğim m = V / T, x-kesim noktası a=(VU−WT) / V ve y-kesim noktası b=(WT−VU) / T

Normal form

$y sin phi + x cos phi - p = 0,,$

φ normalin eğim açısı ve p de normalin uzunluğudur. Normal doğru ve başlangıç noktası (orijin) arasında doğruya dik olacak en kısa doğru parçasıdır. Tüm katsayılar by $sqrt{A^2 + B^2}$ 'a bölünerek ve eğer C > 0'sa tüm katsayılar -1'le çarpılarak (böylece son katsayı negatif olur) rahatça bulunabilir. Alman Matematikçi Ludwig Otto Hesse'nin anısına bu form ayrıca Hesse standart formu olarak da anılır.

Bazen denklemlerde sadeleştirme işlemlerinden sonra eşitsizlik söz konusu olabilir, 1 = 0 gibi. Bu gibi eşitsizlikler tutarsız eşitsizliklerdir, yani hiçbir x ve y değeri için doğru değildir. 3x + 2 = 3x − 5 buna örnek olabilir.

Birden fazla doğrusal denklem olduğu durumlar için lütfen bkz.: Doğrusal denklem sistemi.

Doğrusal fonksiyonlarla ilişkisi

Yukarıdaki tüm formlarda y, x'in bir fonksiyonudur. Fonksiyon grafiği denklem grafiğiyle aynıdır.

Denklemdeki y = f(x) varsayılırsa f fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

$f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ),$

$f ( a x ) = a f ( x ),,$

a bir sayıdır. Bunları sağlayan fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir.

İkiden fazla değişkenli doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler ikiden fazla değişkene de sahip olabilirler, n terimli genel denklemimiz aşağıdaki gibi olsun:

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + cdots + a_n x_n = b.$

Burada, a₁, a₂, …, a_n katsayılar, x₁, x₂, …, x_n değişkenlerdir, ve b de sabittir. Üç değişkenli denklemlerde genelde x₁ yerine sadece x, x₂ sadece y ve x₃ yerine z kullanılır.

Böyle bir denklem n-boyutlu bir Öklid uzayında (n–1)-boyutlu hiper düzlem belirtir.